【专题4 第20课时 空间几何体】

来源:互联网
更新时间:2016/5/3 2:00:10
责任编辑:李志喜
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本文由linzucheng贡献

专题四 立体几何

考点1 三视图、 考点 三视图、直视图

例1:如图是一个几何体的三 视图(单位长度:cm),则该 几何体的体积是(    ) A. 3cm 3 C. 12cm

3 3

B. + 2 3)cm3 (4 D. + 3)cm3 (6

切入点:该几何体由俯视图判断是三棱柱,由正 视图和侧视图判断是直三棱柱,高为3cm,底面 是底边长为2 3cm,腰为2cm的等腰三角形.

解析 由三视图的概念可以判断出,该几何体是 直三棱柱,其高为3,底面是底边长为2 3,腰为 1 2的等腰三角形.所以该几何体的体积为V = × 2 2 3 ×1× 3 = 3 3 ( cm3 ). 答案:A

解答此类题目时: 1.可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图, 再验证其他视图是否正确; 2.视图中标注的长度在直观图中代表什么,要 分辨清楚; 3.视图之间的数量关系:正俯长对正,正侧高 平齐,侧俯宽相等.

变式1(原创题)利用斜二测画 法画出水平放置的正六边形 的直观图.其步骤如下:

(1) 在右图所示的六边形

ABCDEF中,取如图所示的 直角坐标系.

( 2 ) _________________

_____________________ .

( 3) 连接A′F ′、A′B′、D′E′、D′C′,所得六边形

A′ B′C ′ D′ E ′ F ′就是六边形ABCDEF的直观图.

( 4 ) 画好后,擦去辅助线就得六边形ABCDEF 的直观图A′ B′C ′ D′ E ′ F ′.请写出第 ( 2 ) 步.

解析 第 ( 2 ) 步是:作出坐标系x′O′ y′,使∠x′O′ y′ = 45°. 在x′轴上取O′ A′ = OA,O′ D′ = OD,在y′轴上取O′ B′ 1 1 = OB,O′ F ′ = OF . 2 2 过B′作B′C ′平行于x′轴且等于BC,过F ′作F ′ E ′平行 于x′轴且等于FE.

考点2 考点 多面体的表面积与体积

例2 下图是一个几何体的三视图,根据图中信息解答下 列问题:

(1) 说出该几何体的名称,并画出它的直观图(只需

画出图形即可);

( 2 ) 求该几何体的体积和表面积.

切入点:先画出直观图,再利用公式计算.

解析 (1) 该几何体是三棱柱,其直观图如下图所示:

1 ( 2 ) 三棱柱的底面积为S = × 2 × 2 = 2,高为h = 4, 2 故三棱柱的体积为V = 2 × 4 = 8; 三棱柱的侧面积为S侧 = (2 + 2 + 2 2) × 4 = 16 + 8 2, 故三棱柱的表面积为2 × 2 + 16 + 8 2 = 20 + 8 2.

空间几何体需要有较强的空间想象能 力.如果已知一个几何体的三视图,需要根据 其特征“还原”成直观图,然后再根据几何体 的计 算 公式 求 出有 关 数量 值 ( 侧面 积 、体 积 等).

变式2(2011 顺德一模)下图为一简单组合体,其底面 ABCD为正方形,PD ⊥ 平面ABCD,EC PD,且PD = AD = 2EC = 2.

(1) 求四棱锥B ? CEPD的体积; ( 2 ) 求证:BE 平面PDA.

解析 因为PD ⊥ 平面ABCD,PD ? 平面PDCE, 所以平面PDCE ⊥ 平面ABCD. 因为BC ⊥ CD,所以BC ⊥ 平面PDCE. 1 1 因为S梯形 PDCE = ( PD + EC ) ? DC = × 3 × 2 = 3, 2 2 所以四棱锥B ? CEPD的体积 1 1 VB ? CEPD = S梯形 PDCE ? BC = × 3 × 2 = 2. 3 3

( 2 ) 证明:因为EC

所以EC 平面PDA. 而EC I BC = C,

PD,PD ? 平面PDA,EC ? 平面PDA,

同理可得BC 平面PDA. 所以平面EBC 平面PDA. 又因为BE ? 平面EBC,所以BE 平面PDA.

考点3 考点 旋转体的表面积与体积

例3 设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆 心,底面积为100π,C是SB的中点,AC与底面所 成的角为45°,∠AOB = 60°,求这个圆锥的侧面 积和体积.

切入点:找到45°角的位置,从而求出点C到底 面的距离,于是得到圆锥的高和母线的长,再 用公式即得侧面积和体积.

解析 如图,作 CK ⊥ OB于 K . 因为 SO ⊥ 底面 OAB, 所以平面 SOB ⊥ 底面 AOB, 从而 CK ⊥ 底面 AOB. 连接 AK ,则 ∠ CAK 为 AC 与 底面所成的角, 即 ∠ CAK = 45°,所以 CK = AK . 1 易知 CK = SO. 2 又底面积为100π ,故底面半径为 AO = 10. 因为 C 是 SB的中点,所以 K 是 OB的中点,所以 OK = 5.

因为∠AOB = 60°,在?OAK中,由余弦定理可得 AK = AO 2 + OK 2 ? AO ? OK ? cos 60° 1 = 10 + 5 ? 2 × 10 × 5 × 2

2 2

= 5 3, 所以CK = AK = 5 3,则SO = 10 3. 在Rt?SOB中,得SB = SO 2 + OB 2 = (10 3 )2 + 102 = 20, S侧 = π ? OB ? SB = 200π,V圆锥 1 1000 3 = × 100π × 10 3 = π. 3 3

1.解题时误以为∠CAB就是线面角. 线面角的作法:在斜线上取一点(一般取 特殊点:中点,端点)作平面的垂线,垂足与 斜足的连线为斜线在平面内的射影,射影与斜 线所成的角即为线面角; 2.圆锥的母线是侧面展开图的扇形的半 径,易与圆锥底面圆半径混用,要注意分清.

变式3(原创题)如图,直角梯 形ABCD中,BC = 2AD = 4, AB = 2 3,AB ⊥ AD.以AD为 轴将梯形旋转一周得一旋转 体,求旋转体的表面积与体 积.

解析 作CE ⊥ AD于E,可知 旋转体是一个圆柱,在上面 挖去一个同底圆锥之后形成 的组合体,其中圆柱是矩形 ABCE旋转形成的,圆锥是 ?CDE旋转形成的. 圆柱的侧面积S1 = 2π ? AB ? BC = 2π × 2 3 × 4 = 16 3π, 圆柱的一个底面的面积S2 = π ? AB 2 = π × (2 3) 2 = 12π .

作DF ⊥ BC于F,则FC = ED = 2,CE = DF = 2 3, 所以DC = 4. 所以圆锥的侧面积S3 = π ? CE ? DC = 8 3π . 从而旋转体的表面积 从而旋转体的表面积S = S1 + S 2 + S3 = (12 + 24 3)π . 圆柱的体积V1 = π ? AB 2 ? BC = 48π; 1 圆锥的体积V2 = π ? CE 2 ? ED = 8π; 3 从而旋转体的体积V = V1 ? V2 = 40π .

1.要牢固把握每种几何体的结构特征,利 用它们之间的联系来加强记忆,如分为多面体: 棱柱、棱锥、棱台一类,旋转体:圆柱、圆锥、 圆台一类;或分为柱体、锥体、台体三类来记 忆. 2.要注意几何体的三视图与直 观图的联系, 能将两者互相转化;要注意正视图、俯视图、 侧视图之间的数量关系.

3.对于能用公式求解的问题,要将空间问 题转化为平面几何问题,求出公式中所需要的 量,如高度、长度、角度等.这种转化包括: 侧面展开、将部分图画成平面图等. 4.与圆柱、圆锥、球有关的组合体问题, 主要指内接和外切,要认真研究轴截面,分析 平面图,借助相似或比例或直角三角形等找出 变量之间的关系. 5.在进行体积、面积的计算时,要注意 “等积法”“割补法”的使用.

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